[992]수학자의 생각법 ①_패턴 및 계산과 언어의 지름길을 찾아내는 기술

'수학'이란 단어가 포함된 제목의 책은 손이 가지 않는다.
<수학자의 생각법>도 '수학', '수학자', '생각법'이란 말 자체가 독자에게 부담을 준다. 
다행히도 이 책은 회사 교육 사이트에서 읽은 분이 내용을 설명해 주며 추천한 도서다. 
그래서 기대를 가지고 대출해서 과감하게 수학의 세계로 뛰어들 수 있었다. 

성적과 시험을 위한 재미없는 수학이 아니었다.
일상생활에 활용되는 수학의 세계가 얼마나 흥미롭고 유용한지 알려주는 책이다.
이런 책으로 수학이란 과목을 만났다면 수포자는 거의 없을 것 같다. 

결국 수학이란 정해진 시간에 문제를 풀어내는 게 목적이 아니다.
수학이란 세계를 탐험하며 우리는 논리적, 전략적으로 생각하는 방법을 익힐 수 있다. 
스스로 노력해서 이룰 수 있는 것에 한계가 있기에 '거인의 어깨 위에서' 시작하는 이점도 있다. 

<수학자의 생각법>은 의외로 재미있는 내용이 많다.
그래서 세 번에 걸쳐서 의미 있게 다가온 문장을 인용하고 소감을 포스팅한다. 

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(...) 많은 사람이 생각하는 바와 달리 수학은 지루한 계산이 아니라 전략적 사고를 하는 학문이라는 점을 시사하고 있기 때문이다. (13)

우리의 수학 교육의 현실을 직시하게 하는 문장이다. 무엇을 위해 정해진 시간 내에 정답을 찾는 문제를 풀어야 하는가. 산업화 시대의 유산이 인공지능 시대에도 유효하지 않다. 변하지 않으면 새로운 시대에 국가적인 퇴행은 불가피하다. 수학을 통해 논리적이고 전략적인 생각을 습득해야 한다. 

벌들은 육각형의 벌집을 만든다. 육각형은 주어진 면적을 덮는 데 있어 가장 적은 양의 왁스가 사용되는 도형이다. (16)

벌집 (출처: Wikimedia Commons)

수학적 지름길은 언뜻 보기에는 전혀 수학적인 영역으로 보이지 않는 문제들을 풀 때에도 유용하게 적용될 수 있다. 어떤 의미에서 수학은 복잡한 세계를 헤치고 나아가는 길을 찾기 위한 마음가짐에 관한 것이라고 할 수 있다. 이것이 바로 교육 과정에서 수학이 핵심 과목인 이유다. (17)

왜 학창 시절 수학을 꼭 배워야 하는가에 대한 답변이다. 누군가가 만들어준 문제를 빠르게 풀어내는 힘이 아니다. 복잡한 세상을 살아가며 접하는 상황을 나아가기 위한 생각법을 배우는 과정이다. 이 문장을 공감하는 것으로 이 책을 읽는 가치는 충분하다. 

우리가 사는 사회가 게으름을 못마땅히 여기는 것은 사회의 규칙에 순응하지 않는 사람들을 통제하고 그 수를 줄이기 위한 하나의 방편이다. 또 게으른 사람을 곱지 않은 시선으로 보는 진짜 이유는 그들을 사회가 정한 게임의 규칙에 따라 경기할 준비가 되지 않은 사람으로 여기기 때문이다. (...) 새뮤얼 존슨은 오히려 게으름을 예찬했다.  '게으른 사람들은 종종 성과 없는 수고를 피할 뿐 아니라 때로는 손 닿는 범위에 있는 모든 것을 경시하는 사람들보다 더 큰 성공을 거둔다.' (27)

https://bandiburi-life.tistory.com/1256

[492]게으름에 대한 찬양①_의무와 과도한 노동 대신 여가와 교육이 필요

 

지름길을 찾는 과정이 목표로 하는 것도 바로 이것이다. 지름길의 목적은 결코 일을 없애는 것이 아니다. 대신 당신이 의미 있는 일을 할 수 있도록 이끄는 것이다. (28)

수학적인 생각법을 통해 어렵고 힘든 과정을 대신해서 쉽게 갈 수 있는 지름길을 찾고 잉여의 시간을 이용해 의미 있는 일을 하는 것이 저자가 추구하는 방향이다. 가정이서든, 직장에서든, 사업을 하든 누구든 지름길을 찾고 있다. 그래서 수학적 사고가 필요하다.  

 

제1장 패턴의 지름길

전 세계 어디든 두 개의 도시를 대상으로 비교했을 때 인구수가 두 배의 차이를 보이면 사회적 경제적 데이터에서 15퍼센트라는 매직 넘버로 추가적으로 증가율이 나타난다는 것을 밝혀냈다. (51)

왜 사람들이 대도시로 모여드는지 이해할 수 있는 문장이다. 사람의 주거 형태가 한곳에 집중되어 있을 때 사회적, 경제적 인프라를 15퍼센트 정도 효율적으로 운영할 수 있다. 수도권 집중이 심화되는 대한민국이다. 지방이 점차 소멸되는 가운데 지방을 소도시 형태로 인구를 집중화해 운영할 필요가 있다는 주장은 이 문장과도 일맥상통한다. 

이런 식의 상관관계가 존재한다는 사실을 발견하는 것이 내가 수학을 좋아하는 이유 중의 하나다. 누가 파스칼의 삼각형에 피보나치수열이 숨어 있으리라고 생각했겠는가? 하나의 문제를 두 가지 다른 관점에서 바라본 결과, 겉으로 보기에는 완전히 다른 세계에 위치한 것처럼 보이는 두 개의 모서리 사이에 비밀의 통로 혹은 지름길이 있는 걸 발견한 것이다. 파스칼의 삼각형에는 삼각수와 2의 거듭제곱도 숨겨져 있다. (...) 수학은 참으로 이상한 터널들로 가득 찬 세계다. 이 세계에서는 하나의 문제를 다른 문제로 바꾸기 위해 쓸 수 있는 지름길이 너무도 많다. (69)

말콤 글래드웰은 <아웃라이어>를 통해 어떤 분야에서든 대가가 되기 위해서는 최소한 1만 시간의 연습이 필요하다는 이론을 널리 퍼트렸다. (...) 다소 논란의 여지가 있는 주장을 펼쳤다. 실제 이 연구를 수행한 연구팀은 글래드웰이 그들의 연구 결과를 잘못 해석한 것이라고 했다. (74)

<아웃라이어>를 읽고 1만 시간을 노력하면 전문가가 될 수 있겠다는 희망을 품었던 적이 있다. 하지만 어떻게 1만 시간을 보내냐에 따라 다를 것이고, 사람의 역량에 따라 다를 수 있다. '1만 시간의 법칙'이란 잘못된 해석의 결과라니...

 

제2장 계산의 지름길

역사적으로 모든 문명에서 사람들의 말을 쓰고 기록하는 것이 새로운 아이디어를 보존하고, 소통하고, 이용하는 강력한 방법임을 깨달은 것으로 보인다. 언어에 사용된 모든 새로운 문자의 발전 과정을 보면 일반적으로 숫자의 개념을 기록하는 영리한 방법도 포함되어 있다. 숫자를 표기하는 더 나은 방법을 발견한 문명에서는 훨씬 빠르고 효율적인 계산과 데이터의 관리가 가능했다. (85)

큰 숫자를 효율적으로 기록할 수 있는 이러한 표기 체계는 이집트가 시민들에게 세금을 부과하고 효과적으로 도시를 건설할 수 있을 정도의 강력한 문명국가가 되는 데 있어서 중요한 요인으로 작용했다. (86)

국가를 통치하고 세금을 제대로 부과하고 거두기 위해서는 충분한 숫자를 다룰 수 있는 체계가 있어야 한다. 이집트는 이런 체계를 갖춰서 강력한 국가를 유지할 수 있었다는 문장이다. 당시의 한반도는 어떤 시대였을까. 숫자라는 개념이 있었을까

그들이 선택한 60진법 체계에는 매우 다른 종류의 지름길이 내재되어 있다. 60진법 체계하에서는 숫자를 나누는 것이 매우 쉽다는 점이다. (...) 60진법이 가진 이러한 높은 분할성 때문에 오늘날에도 시간을 셀 때 여전히 60진법을 사용한다. 1시간은 60분에 해당하고, 1분이 60초인 것은 그 기원을 고대 바빌론 문명에서 찾을 수 있다. (87)

시간에서 주로 사용되는 60이란 숫자가 고대 바빌로니아 문명에서 60진법과 함께 시작되었다.  고대 문명의 발달이라곤 하지만 어떻게 그런 생각을 당시에 할 수 있었을까. 대단하다. 

오늘날 우리가 사용하는 숫자 체계를 종종 '아라비아 숫자'라고 표현하는데 이는 잘못된 것이다. 적어도 역사 전체를 모두 담고 있는 이름은 아니다. 힌두교 경전에 적힌 인도의 수 체계를 발견하고 이를 유럽으로 가지고 온 것이 아랍인들이었다. 따라서 오늘날의 숫자는 '인도-아라비아 숫자'로 부르는 것이 맞다. 인도의 숫자 체계에는 1에서 9에 해당하는 기호가 있고, 자릿수가 하나씩 왼쪽으로 옮겨갈 때마다 10의 배수로 커지도록 되어 있었다. 그리고 그들에게는 다른 문명에는 없던 아무것도 없는 상태를 표현하는 기호가 있었다. 그것은 바로 '0'이었다. (89)

아라비아 숫자의 시작은 인도였고 특히 '0'이란 기호의 발견은 인류의 발전에 큰 기여를 했다. 아랍인들은 인도의 수 체계를 유럽으로 전달하는 역할을 했다고 하니, 오늘날 '아라비아 숫자'라고 하는 것은 사장될 뻔했던 이런 문명을 살려냈다는 데 의미를 둔 것이리라. 

로그값이 가진 잠재성은 영국 수학자 존 네이피어John Napier가 발견했다. (...) 그가 로그값이라는 영리한 지름길을 생각해냈기 때문이 아니라 그의 성격이 괴짜처럼 보이기 때문이다. 1550년에 태어난 네이피어는 신학과 신비주의에 빠진 사람이었다. (91)

로그값의 발견으로 인류는 복잡한 것도 계산할 수 있는 지름길을 찾을 수 있었다. 생각하는 방법의 차이를 발견하는 것은 어렵다. 이를 활용하는 것은 쉽다. 우리는 거인들의 어깨 위에서 새로운 방법을 찾고 있다. 

카르다노는 몇 년 동안은 폰타나와의 약속을 지키기 위해 노력했다. 그러나 그 약속을 끝까지 지키지는 못했다. 1545년에 펴낸 그의 유명한 저서 <아르스 마그나> Ars Magna에 폰타나의 공식이 등장하기 때문이다. 카르다노의 책을 읽은 봄벨리는 방정식 X^3-15X-4=0에 폰타나의 공식을 적용해 보았다. 이때 다소 이상한 일이 일어났다. 문제를 풀던 중 어느 단계에서 공식이 마이너스 121의 제곱근을 구하라고 요구한 것이었다. 물론 봄벨리는 121의 제곱근을 구하는 법은 알고 있었다. (...) 하지만 마이너스 121의 제곱근은 무엇일까? (99)

허수의 발견에 대한 스토리의 일부분이다. 책에서 소개된 허수가 발견되는 과정은 저절로 집중하게 되었다. 여러 사람의 노력 속에서 수학은 조금씩 진일보해 왔다. 

가우스 이전의 수학자들은 그들이 사용하는 숫자를 수평선상에서 음수 경우 왼쪽으로 움직이고, 양수의 경우 오른쪽으로 움직이는 것으로 표시했다. 그러나 가우스는 허수를 표기하기 위해 완전히 새로운 방향으로 움직이도록 영감 어린 결정을 내렸다. 이 새로운 숫자들은 기존의 수평선상이 아닌 수직 방향으로 움직인다고 가정한 것이다. 그가 제안한 그림에서 숫자는 1차원이 아니라 2차원으로 움직였다. (101)

한 차원을 늘인 것 뿐이지만 2차원에 실수와 허수를 동시에 표현한다는 발상 자체가 기발한 것이었다. 수학 시간에 우리가 배웠던 내용은 이런 배경에 대한 이해가 없는 문제풀이의 반복이었다. 정작 배워야 할 발상법은 버린 것이다. 

오늘날 허수의 세계는 이 마법 거울 속의 지름길이 없었다면 이해하지 못할 개념들을 파악하는 데 핵심적인 열쇠 역할을 한다. 양자물리학은 극히 작은 입자들의 행동을 설명하는 학문이다. 이 학문의 세계는 허수를 이용해야만 설명 가능하다. 또한 전자기학에서 교류는 마이너스 1의 제곱근을 이용할 때 가장 쉽게 다룰 수 있다. 허수가 제공하는 지름길의 또 다른 놀라운 예는 전 세계 공항에서 비행기의 착륙을 돕는 컴퓨터에서 찾을 수 있다. (104)

허수의 개념이 양자역학과 전자공학 등의 학문의 발전을 가져왔다. 

바빌로니아인들은 60의 배수로 자릿값 체계를 표현했다. 그들은 0에서 59까지의 기호를 가지고 있었고, 이를 이용해 60진법으로 숫자를 표현했다. 마야인들은 0에서 19까지의 기호를 썼고, 20의 거듭제곱을 사용한 20진법 체계를 만들었다. 현대 문명이 10진법을 선택한 것은 순전히 인간이 가진 해부학적 특징 때문이었다. 바로 인간이 열 개의 손가락을 가지고 있다는 사실 말이다. (108)

 

제3장 언어의 지름길

<수학의 언어>는 수학이 단순히 하나의 언어가 아니라 많은 다양한 언어로 이루어져 있음을 가르쳐주었다. 또한 수학은 하나의 언어를 다른 언어로 변환하는 사전을 만들어 보이지 않던 지름길을 다른 언어를 통해 나타나게 하는 데 매우 뛰어나다는 점도 깨닫게 했다. (125)

대수학은 바그다드에 소재한 도서관 '지혜의 집 House of Wisdom' 원장 무함마드 이븐무사 알콰리즈미가 개발했다. 810년에 세워지기 시작한 지혜의 집은 당대 최고의 지식 활동의 중심지로 천문학, 의학, 화학, 동물학, 지리, 연금술, 점성술, 수학을 공부하고자 전 세계 학자들이 모여드는 곳이었다. 이슬람 학자들은 많은 고대 문헌을 수집하고 번역한 후 후대를 위해 효과적으로 보관했다. 그들이 그런 노력을 기울이지 않았더라면 지금의 우리는 그리스, 이집트, 바빌로니아, 인도의 고대 문화에 대해 알 수 없었을 것이다. (126)

고대 문화가 오늘날 우리에게 전해질 수 있는 것은 아랍의 역할이 컸다. 구체적으로 바그다드에 있었던 '지혜의 집'의 역할을 설명하는 문장이다. 

그의 책 <기하학>에서 데카르트는 좌표를 이용해 기하학을 다루는 매우 강력한 아이디어를 소개했다. 이런 아이디어를 제안한 그의 이름이 붙은 '데카르트 좌표계'는 지구 표면뿐 아니라 모든 이미지상에 기하학적 위치를 숫자로 표시할 수 있게 한다. 데카르트 좌표계는 기하학과 대수학이라는 서로 다른 언어를 번역해 주는 일종의 사전 역할을 한다. (136)

수학에도 여러 분야가 있다. 기하학을 좌표를 이용해 대수학이라는 언어로 변환할 수 있다. 우리는 이런 방법을 이용해 좀 더 쉽게 문제를 풀어갈 수 있다. 

대칭성을 이해하는 새로운 언어라고 할 수 있는 '그룹 이론 group theory'이 19세기 초에 등장했다. 이는 비범하고 혁명적인 프랑스 수학자 에바리스트 갈루아의 발명품이다. 불행히도 그의 인생은 그가 발견한 이론의 잠재력을 완전히 깨닫기도 전에 비극적으로 끝났다. 사랑과 정치 때문에 벌어진 결투에서 20세의 젊은 나이로 총에 맞아 죽었기 때문이다. (141)

수학자 박형주의 책 <배우고 생각하고 연결하고>에서 비극적으로 젊은 나이에 세상을 떠난 '갈루아'를 만났던 기억이 떠오른다. 아까운 천재의 허무한 죽음이다. 

문제에 대한 답이 보이지 않는다면 문제를 다른 종류의 언어로 표현할 방법을 찾아보라. 새로운 언어로 문제를 표현하면 답이 좀 더 쉽게 보일 수 있다. 만약 원하는 대로 결과가 잘 나오지 않는다면 그리려고 하는 그림을 숫자로도 바꿔볼 필요가 있다. (149)

동일한 문제를 다른 수학적 언어로 변환하면 쉽게 답이 보일 수 있다. 위에서 언급한 데카르트의 좌표계를 이용한 기하학의 대수학으로의 전환처럼 말이다. 

내 수학 마술사 친구 아서 벤저민이 선보이는 놀라운 계산 능력의 핵심도 두 자리 숫자를 시각적인 이미지로 변환하는 기술이다. 벤저민은 두 개의  여섯 자리 숫자를 머릿속에서 곱할 수 있도록 스스로를 훈련했다. (...) 그가 발견한 것은 숫자를 기억해 내려는 일이 계산 과정에 방해된다는 것이었다. (...) 그래서 그는 숫자를 단어로 변환시키는 방법을 생각해 냈다. (155~156) 

2권으로 이어진다. 

https://bandiburi-life.tistory.com/2682

[992]수학자의 생각법 ②_기하학 다이어그램 및 미적분의 지름길

 

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독서습관 992_수학자의 생각법_마커스 드 사토이_2024_북라이프(241229)

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■ 저자: 마커스 드 사토이 Marcus Du Sautoy

옥스퍼드대학교 수학과 교수이자 영국 왕립학회 회원이다. 그룹 이론group theory과 정수론 number theory이 주 연구 분야이고, 2001년에 런던수학협회가 40세 미만의 수학자가 이룬 가장 뛰어난 수학 연구에 수여하는 베릭상을 수상했다. 리처드 도킨스의 뒤를 이어 2008년에 과학대중화사업의 책임자인 시모니 석좌교수로 선출되어 지금껏 옥스퍼드대학교의 과학 홍보대사 역할을 수행하고 있다. 

2009년에 영국 과학 커뮤니케이션 분야 최고의 영예인 패러데이상을 수상했고, 2010년에 과학에 대한 공로를 인정받아 영국 왕실로부터 대영제국훈장을 받았다.